生活中的数学

l         科目发展背景：

教育是今天播种，明天开花结果的事业，教育是为未来服务的事业。小学数学作为基础教育的重要组成部分，它的教育目的是什么？是学习数学知识吗？是发展数学能力吗？当然，这些都是，但还不够，因为数学教育的根本目的是在于促进人的发展，在于提高人的素质。数学教育在提高人的素质方面的作用，则表现在不同的层次。第一层次：理解和掌握课程标准和教材所规定的数学基础知识和基本技能；第二层次：在第一层次的基础上发展数学能力。如计算能力、初步的逻辑思维能力、初步的空间观念和运用数学知识解决简单实际问题的能力等。第三层次：在第二层次的基础上，注重形成良好的精神品格，能促使学生世界观和方法论的转变，促使学生思维方式与观念的变化。由此可见，数学拓展课的教学是有必要的，它是对基础型课程的有效补充和相对完善。

数学是一门应用性很强的学科，它源于生活，用于生活，数学的应用已渗透到社会的方方面面。因此，开设“生活中的数学”这门数学拓展课，旨在培养学生自觉运用数学知识解决实际问题的能力，真正做到学有所用，为未来服务。

江泽民总书记曾经指出：创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族，难以屹立于世界民族之林。因此，我们设想通过开设 “生活中的数学”这门数学拓展课，为学生建立一个培养创新意识和创新能力的平台。

 

l         活动内容：

系列活动之一：莫比乌斯圈现象及应用（4课时）

系列活动之二：数学中的概率问题（4课时）

系列活动之三：数学推理（4课时）

 

l         活动具体环节设计：

系列活动之一：莫比乌斯圈现象及应用

各课时内容安排和目标:

第一课时：通过操作观察认识莫比乌斯圈及其特性

第二课时：通过操作，进一步观察、总结莫比乌斯圈在不同的操作前提下出现的特殊现象。

第三课时：交流、试验，体验莫比乌斯圈原理在现实生活中的广泛运用，培养创新意识和能力

第四课时：认识到莫比乌斯圈现象的研究是拓扑学的一个分支，并对拓扑学有初步的认识和了解。

第一课时环节设计：

活动目标：

1、  通过观察探究，发现单侧曲面的特点：只有一个面、一条边

2、  通过系列操作活动，使曲面在不同的操作方式下出现不同的特殊效果

3、  培养敢于大胆猜测并借助实践证明的数学素养

活动过程：

一、观察探究单侧曲面的特点

1、  观察纸条

出示一张纸（正面有颜色，反面白色），说说有几条边，几个面（有四条边、两个面）

2、  将纸条做成普通纸环

（1）       设疑：怎样使这张纸变成：有两个面和两条边

（2）       教师演示：将纸条做成纸环状（首尾粘合）

（3）       观察并分别指出纸环的两个面和两条边（里外两个面和上下两条边）

3、  将纸条做成特殊纸环

（1）       教师操作演示：将纸条卷成一个圈，拧一下，即旋转180度，两端粘牢

（2）       学生根据教师的演示仿制

（3）       用“摸”的方式发现特殊纸环的特点：有一个面、一条边

（4）       请学生再做一个相同的纸环，边做边思考：两个面怎么变成一个面的，两条边怎么变成一条边的

（5）       请学生用水彩笔在纸环的面的中间画上线，连续不断的线段算作一条，看看画了几条

4、  揭示课题：
师：如果把有两个面的纸环称作“双侧曲面”，那么只有一个面的纸环该称作什么（双侧曲面）
板书课题：单侧曲面

二、通过“拧、粘、剪”的方式，使曲面在不同的操作方式下出现不同的特殊效果

1、  将单侧曲面从中间剪开

（1）       猜测：沿着两个纸环的中间的线剪开，这个纸环会变成什么样

（2）       师生一起操作验证刚才的猜测（双侧曲面剪开后变成两个环，单侧曲面剪开后变成一个更大的环）

（3）       比较剪开后变大了的纸环和原来纸环之间的异同（一个拧了一下，另一个拧了4下；一个是单侧曲面，另一个是双侧曲面，因为用笔在中间划线，不能从一个面转到另一个面）

（4）       思考：怎样拧出现双侧曲面，怎样成为单侧曲面（拧单数次出现单侧曲面，拧双数次出现双侧曲面）

2、  猜测并操作验证：将刚才剪开后变大的纸环再从中间剪开，会变成什么样（两个纸环，环环相套）

3、  探究三等分的单侧曲面

（1）       操作：将纸条三等分，中间一份的正反面都涂上颜色，拧一下，粘合

（2）       猜测：沿着中间的任意一条边剪开，会出现什么效果

（3）       操作：剪开后发现是一大一小两个相扣的环

（4）       不看纸环，猜猜中间的较小的纸环是什么曲面（单侧曲面）

4、  自由活动
师：刚才我们将一张普通的纸通过“拧、粘、剪”的方式让大家看到了这么多奇妙的现象，那么，你是否还想做别的设想和尝试呢？
（学生根据自己的设想自由尝试）

三、联系生活
师：单侧曲面这么神奇，那么，我们能不能把它用到生活中去呢？
（例如：用单侧曲面的原理设计磁带，可以使AB两面连在一起，可以循环播放）

四、总结
智慧和神奇就在我们的手中，只要我们敢于大胆地猜测和尝试，很多看似不可能的事能通过我们的聪明才智变为现实。

 

 

第二课时

第一环节：自由操作活动（通过操作，进一步观察、总结莫比乌斯圈在不同的操作前提下出现的特殊现象）

第二环节：交流操作后的发现

操作结论一：如果通过180度的单数倍的度数旋转粘贴后，得到的是单侧曲面，如果通过180度的双数倍的度数旋转粘贴后，得到的是双侧曲面。

操作结论二：如果通过180度的奇数倍的度数旋转粘贴后，沿中线都得到一个缠绕在一起的圈，如果对莫比乌带的宽度进行N次等分后沿等分线剪开将会得到：当N是偶数将得到N/2个双侧面的圈；当N是奇数得到（N-1）/2 个双侧面的圈和一个莫比乌斯圈。

第三环节：操作演示共享环节（除以上结论外的特殊现象的操作演示）

第四环节：活动总结

 

第三课时：

第一环节：思考交流莫比乌斯圈现象的特殊性在生活中的运用

（在生活中，有很多应用就是利用莫比乌斯带的特性而设计的，如：游乐园中的过山车；机器传动带；录音带；有些打印机等等。）

第二环节：

选择其中的一种应用进行实践操作

第三环节：制作科技馆门前的三叶结

第四环节：总结：

莫比乌斯圈现象告诉我们：宇宙时空中的任何一个点都可以通过无中生有的方式第一次生成阴阳两性，然后再分别以刚生成的阴阳两性为基础生成第一次的阴阳两性的两个物质，第二次、第三次……直至永无穷尽。

 

第四课时：

第一环节：

1、  认识克莱因瓶

2、  建立克莱因瓶和莫比乌斯圈之间的联系与区别

3、  了解莫比乌斯圈现象是拓扑学的一个分支

 

 

 

 

 

 

 

系列活动之二：数学中的概率问题

第一课时：

一、引入：有一个商家进行一项活动，活动内容：凡购买２００元可以抽一次奖，一次掷两颗色子，根据两颗色子的点数获得不同的奖金。

介绍色子：出示一个大点的色子问：上面有什么？生：有１到６，６个点数，再出示一个小点点的色子问：上面有什么？　生：１到６的点数。

二、引发猜想

一起掷两个色子，得到两个数，想一想：他们的和可能有哪些？

现在我们要准备奖品了，还要考虑什么？

猜猜看哪些数字好掷点，哪些数字难掷点？

小组讨论

汇报交流

研究

三、实验操作

小组合作投掷色子。

小组合作提示默读：1、六人一组轮流掷，每人掷4次；2、小组长负责统计，统计结束交给老师。

教师用excel来记录数据。

统计结束后，观察数据表，看看六个小组一样吗？看统计图，你有什么发现？

生：中间多，两边少。

师：谁的猜想是对的？

四、进行数学质疑

师:我们用实验的方法验证了。现在我们能不能用数学的思考方法说说为什么中间的数多，两旁的数少？

生：中间的加起来多

五、寻求解决问题的依据

师：如，６＋６＝１２只有几种情况？生：1种。

师：现在你们也来写一写其他的几种情况。写的时候最好能有规律地写。

学生独立写出各种算式。

汇报介绍写法

你有什么发现？

生：中间的情况多，两旁的情况少。

师：刚才我们从数学的角度来帮商家解决了难题，如果你是商家，会怎样设计奖品？

生：2的奖品要好。

出示三种方案，师：你觉得会选择哪种方案？

 方案一：

点数和  2   3     4    5    6      7      8       9      10    11     12

奖金   20  40   60   80  100   120   100     80   60   40     20

方案二：

点数和  2      3     4    5      6      7      8       9      10    11     12

奖金   120  100   80  60   40      20   40     60      80    100   120

方案三：

点数和  2      3     4    5      6      7      8       9      10    11     12

奖金   20     40    60  80   100   120   140   160   180   200   220

 

 

 

 

第二课时
一、引入：介绍故事背景

 

众里寻它

1943 年，第二次世界大战正紧张地进行着。

望着门口长长的等待验血的征兵队伍，美军军医道夫曼陷入了沉思。这

些小伙子看来都很健康，可是要吸收他们入伍，还必须验血检查一次，以防

一种可怕的疾病带入军队中，每个人都要化验一次，这要花多少时间！本来

这种病的发病率并不高，比如说只有百分之一吧，为了一个人，就必须把100

个人的血逐个儿化验一遍，这样做太不值得了，能不能减少化验次数呢？

道夫曼想起那些重复性的化验操作：抽血，投入试剂，观察反应⋯⋯。

如果是阴性，就算通过；如果是阳性，就表明带有病毒。事情就是那么简单。

 

二、学生分别交流设想

三、继续故事的其余部分:

突然，一个念头闪过他的脑子：干嘛不把一群人的血液都放在一起，集体化

验一下呢？若是阴性，就一下子全部通过；若是阳性，就分成几群再试。假

定100 个人中只有一个病号，可把他们分为10 群，每群10 人。先每群集体

化验一次，必有一群应为阳性的，再将这群人的血一个个化验一遍，这样最

多只需化验20 次就够了。他的想法实际运用后，果然大大加快了验血速度。

后来，他把这种试验方法称之为“群试”，发表在一个数学杂志上。

再“一分为二”,把验血问题抽象化，我们可以得出这样一种“数学模型”：已知N 个物体中含有d 个坏物，如果从中取出一群物体来作试验，结果只有“好”、“坏”两种。结果为好时，说明这群物体都是好的；结果为坏时，说明这群物体中至少包有一个坏物。问怎样才能以最少试验次数，把d 个坏物全找出来。

五、思考：运用群试法，该试验几次。

六、揭示：道夫曼并没有彻底利用群试思想，因为他在试第二遍

时，还得一个个地去化验。实际上他可以把群试思想贯彻到底。当仅含一个

坏物（即d＝1）时，更有效的方法是“一分为二”法，假设100 个物体中含有一个坏物。第一次任取50 个来试验。若结果为坏，就在这群物体中取出25 个来再试。若结果为好呢？这表明坏物含在没试过的剩下的50 个中。因此可把剩下的50 个这一群一分为二，任取一半25 个来试。总之第二次只需试验由25 个物体组成的群了。这样不断边分边试，遇到一群物体的个数为奇数时，就分成大致相等的两半，像25 个物体就可以分成12 个一群及13 个一群，最后，只需试验7 次就可以了。

七、群试方法在生活中的应用：工厂产品检验等许多问题都是属于这一类。所以，群试法用途很广泛。

 

 

系列活动三：推理

不可忽视的思维方法——逆向推理

一、引入：   人们在思考问题的时候，总习惯于从原因去寻找结果，而不习惯于从结果去追寻原因。实际上，有的问题如果从反向进行推理，其答案的获得将十分快捷。请看源于古罗马的一个智力游戏：古代有一位国王，他有一个漂亮的女儿，名叫约瑟芬。话说当时公主约瑟芬正值二八妙龄，且又才华出众，美艳绝伦，引得无数青年小伙子倾慕，求婚者更是络绎不绝。不过，这位美貌公主当时已悄悄地爱上了一位英俊的小伙子乔治。约瑟芬的父亲，是一位具有花岗岩般脑袋的君主。他虽然很爱自己的女儿，但却坚持要通过一种传统的仪式，以确定女儿应该嫁给什么人。仪式是这样的：先由公主在自己认为合适的求婚者中选出10 人，然后让10 名求婚者围着公主站成一圈，接着由公主根据自己的意愿挑选任何一个人作为起点，并按顺时针方向逐个地数到17（公主的年龄），这第17 个人必须退出求婚者的圈子，意即被淘汰。然后，又接下去从1 起再数到17，这被

数为第17 的人又被淘汰，如此下去，直至只剩下一个人为止，这人就应该是公主的丈夫。怎样才能使得最后留下的是心爱的乔治呢？约瑟芬为此而苦苦思索着。她拿了10 枚金币围成一圈，试了又试，终于悟出了道道，如愿以偿了！

二、分小组尝试操作

三、交流

四、继续故事：

原来约瑟芬发现：无论从哪一枚金币开始数，只要是每次把第17 块金币

拿掉，那么最后剩下来的一块，就总是最初开始数的第三块金币。于是，在

仪式中她毅然选择了乔治的前两位作为起点，开始计数。

五、总结：约瑟芬的问题也叫“计子问题”它的基于逆向推理。

逆向推理的实质，是从结果出发，一步步往前追溯原因，因而常常成为一些对策游戏的取胜之道。

 

 

 

第二课时：

一、  师生游戏：抢一百：“抢一百”是我国民间流传很广的儿童游戏，玩法极为简单：两人从1开始轮流报数，每人每次至少报一个数，至多报五个连续的数，最先报到“100”的人获胜。这个游戏先报数的人只要把握契机必然取胜！

二、  分小组探索获胜方法

三、  交流：事实上，要“抢一百”是我国民间流传很广的儿童游戏，玩法极为简单：两人从1开始轮流报数，每人每次至少报一个数，至多报五个连续的数，最先报到“100”的人获胜。这个游戏先报数的人只要把握契机必然取胜！事实上，要抢到“100”就必须抢到“94”；要抢到“94”就必须抢到“88”；要抢到“88”就必须抢到“82”；⋯⋯。这一系列制胜点的第一个为“4”，谁先报到“4”，谁就能最后报到“100”，所以第一个报数的人只要每次抢报制胜点，便能稳操胜券！

四、  另一种二人对策游戏是在围棋上进行的。先走的人可将一枚棋子放在棋盘的最上面一行或最右边一列的，自己认为适当的格子里。接下去两人轮流走动棋子，走动的方式只能向左、向下或向左下三种；谁先把棋子走到左下角便算谁胜。

五、  总结：上述游戏虽然要比“抢一百”复杂许多，但取胜之道是一样的，用的都是逆向推理。逆向推理是一种重要的思维方法，它用又一种方式沟通了原因和结果之间的联系。